Teorema Limit Bilangan Euler

Limit dalam pelajaran matematika merupakan sebuah konsep dalam bidang ilmu matematik yang biasa dipakai untuk menerangkan suatu sifat dari suatu fungsi.

Barisan bilangan dapat dianggap sebagai fungsi dengan domain bilangan asli. Misalkan diberikan fungsi

f (n) = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

dengan

n

bilangan asli.
Rumus fungsi tersebut dapat dikembangkan dengan menerapkan Ekspansi Newton, yaitu

\begin{aligned} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} & = C_{0}^{n} + C_{1}^{n} (\frac{1}{n}) + C_{2}^{n} {(\frac{2}{n})}^{2} + C_{3}^{n} {(\frac{3}{n})}^{3} + \dots \\ = 1 + n (\frac{1}{n}) + \frac{n (n - 1)}{2! \cdot n^{2}} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3! \cdot n^{3}} + \dots \end{aligned}

Untuk

n \to \infty

, ditulis

\begin{aligned} lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \\ = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots \\ = 2 + 0, 5 + 0, 166 \dots + 0, 041666 \dots + \dots \\ = 2, 7172818 \dots \end{aligned}

Bilangan irasional

2, 7172818 \dots

selanjutnya dikenal sebagai bilangan euler dan dinotasikan dengan huruf

e

. Bilangan ini merupakan konstanta penting dalam bidang kalkulus.

REFERENSI: https://www.youtube.com/watch?v=k-bySiJS9hE

Kesimpulan:

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e

Modifikasi Limit Euler

\begin{aligned} lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} {[{(1 + \frac{1}{(- n)})}^{- n}]}^{- 1} = e^{- 1} \\ lim_{n \to \infty} (1 + n)^{\frac{1}{n}} = e \\ lim_{n \to \infty} (1 - n)^{\frac{1}{n}} = e^{- 1} \end{aligned}

Teorema berikut sangat membantu dalam menyelesaikan persoalan mengenai penentuan nilai limit euler.

Teorema 1. Apabila $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)=0$ dan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} g(x)=\pm \infty$ maka

$\begin{equation*} \displaystyle \lim_{x\rightarrow c} \left(1+f(x)\right)^{g(x)}=e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)g(x)}. \end{equation*}$

contoh 1 :

Tentukan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}$ .
Penyelesaian.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}.$

Apabila berturut-turut diambil $f(x)=\displaystyle \frac{-2}{x+1}$ dan $g(x)=3x-2$ maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=\infty.$

Berdasarkan teorema di atas diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}\\ &=\displaystyle e^{\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-2}{x+1}\cdot (3x-2)}\\ &=e^{-6} \end{split}. \end{equation*}$

Contoh 2 :

Tentukan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}$ .
Penyelesaian.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(1+(x-1)\right)^{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}.$

Apabila diambil $f(x)=(x-1)$ dan $g(x)=\displaystyle \frac{x}{(x-1)(x-2)}$ maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}g(x)=\pm\infty (\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\infty~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=-\infty).$

Berdasarkan teorema di atas diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(1+(x-1)\right)^{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}\\ &=\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}(x-1)\cdot\frac{x}{(x-1)(x-2)}}\\ &\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x-2}}\\ &=e^{-1} \end{split} \end{equation*}$

Limit Fungsi Trigonometri

Limit trigonometri ialah nilai terdekat pada suatu sudut fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi ini bisa langsung disubtitusikan seperti misalnya limit fungsi aljabar namun ada fungsi trigonometri yang harus diubah dahulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila langsung subtitusikan nilainya bernilai 0, bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus memakai identitas tetapi menggunakan teorema limit trigonometri atau ada juga yang memakai identitas dan teorema. Maka apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang mendekatinya menghasilkan dan maka harus menyelesaikan dengan cara lain.

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat beberapa cara yang bisa dipakai :

Metode Numerik
Menggunakan Turunan
Subtitusi
Kali Sekawan
Pemfaktoran

Macam – Macam Trigonometri

Berdasarkan pembahasan yang telah dibahas di rumus trigonometri pada artikel sebelumnya, berikut ialah nama-nama trigonometri yang kita kenal :

Cosinus (cos)
Sinus (sin)
Cosecan (Csc)
Tangen (tan)
Cotongen (cot)
Secan (sec)

Limit Fungsi Trigonometri untuk x Mendekati Suatu Bilangan

Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri untuk x mendekati suatu bilangan c dapat secara mudah diperoleh dengan melakukan substitusi nilai c pada fungsi trigonometrinya. Persamaan rumus limit fungsi trigonometri diberikan seperti pada gambar di bawah.

Berikut ini adalah contoh soal penggunaan rumus limit fungsi trigonometri untuk x mendekati suatu bilangan.

ada kasus tertentu, nilai limit untuk x mendekati bilangan 0 akan menghasilkan $\frac{0}{0}$ . Misalnya pada kasus berikut.

$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{sin \; x}{x}$

Jika dilakukan substitusi secara langsung, nilai limitnya adalah

$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{sin \; x}{x} = \frac{0}{0}$

Limit Fungsi Trigonometri untuk x Mendekati 0 (Nol)

Dalam pembahasan limit fungsi trigonometri, terdapat berbagai rumus yang dapat disebut sebagai “properti” untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri. Kumpulan properti tersebut dapat dilihat pada daftar rumus limit trigonometri yang diberikan di bawah.